量子情報科学では、基底の概念が量子状態の理解と操作に重要な役割を果たします。基底は、これらのベクトルの線形結合を通じて任意の量子状態を表すために使用できるベクトルのセットです。計算基底は |0⟩ および |1⟩ として表されることが多く、量子コンピューティングの最も基本的な基底の 90 つであり、量子ビットの基底状態を表します。これらの基底ベクトルは互いに直交しています。これは、複素平面内で互いに XNUMX 度の角度を成していることを意味します。
ベクトル |+⟩ および |−⟩ を含む基底 (重ね合わせ基底と呼ばれることが多い) を検討する場合、計算基底との関係を分析することが重要です。ベクトル |+⟩ および |−⟩ は、それぞれ |0⟩ および |1⟩ 状態にアダマール ゲートを適用することによって得られる重ね合わせ状態を表します。 |+⟩ 状態は |0⟩ と |1⟩ の等しい重ね合わせの量子ビットに対応し、 |−⟩ 状態は |0⟩ と |1⟩ の成分間の位相差 π の重ね合わせを表します。
|+⟩ および |−⟩ ベクトルの基底が |0⟩ および |1⟩ の計算基底に対して最大限非直交であるかどうかを判断するには、これらのベクトル間の内積を調べる必要があります。 XNUMX つのベクトルの直交性は、それらの内積を計算することによって決定できます。内積は、ベクトルの対応する成分の積の合計として定義されます。
計算基底ベクトル |0⟩ と |1⟩ の場合、内積は ⟨0|1⟩ = 0 で与えられ、それらが互いに直交していることを示します。一方、重ね合わせ基底ベクトル |+⟩ と |−⟩ については、内積は ⟨+|−⟩ = 0 となり、互いに直交していることがわかります。
量子力学では、1 つのベクトルの内積が最大値 (正規化ベクトルの場合は XNUMX) にある場合、そのベクトルは最大非直交であると言われます。言い換えれば、最大非直交ベクトルは可能な限り直交から遠ざかります。
|+⟩ ベクトルと |−⟩ ベクトルを含む基底が計算基底に対して最大限に非直交であるかどうかを判断するには、これらのベクトル間の内積を計算する必要があります。 |+⟩ と |0⟩ の内積は ⟨+|0⟩ = 1/√2、|+⟩ と |1⟩ の内積は ⟨+|1⟩ = 1/√2 です。同様に、|−⟩ と |0⟩ の内積は ⟨−|0⟩ = 1/√2、 |−⟩ と |1⟩ の内積は ⟨−|1⟩ = -1/√2 です。
これらの計算から、重ね合わせ基底ベクトルと計算基底ベクトルの間の内積が最大値 1 にないことがわかります。 したがって、 |+⟩ および |−⟩ ベクトルを持つ基底は、 |0⟩ と |1⟩ による計算基礎との関係。
ベクトル |+⟩ および |−⟩ を含む基底は、ベクトル |0⟩ および |1⟩ を含む計算基底と比較して最大非直交基底を表しません。重ね合わせ基底ベクトルは互いに直交しているが、計算基底ベクトルに関しては最大限に非直交ではない。
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